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二分查找边界

查找左边界

Question

给定一个长度为 \(n\) 的有序数组 nums ,其中可能包含重复元素。请返回数组中最左一个元素 target 的索引。若数组中不包含该元素,则返回 \(-1\)

回忆二分查找插入点的方法,搜索完成后 \(i\) 指向最左一个 target因此查找插入点本质上是在查找最左一个 target 的索引

考虑通过查找插入点的函数实现查找左边界。请注意,数组中可能不包含 target ,这种情况可能导致以下两种结果。

  • 插入点的索引 \(i\) 越界。
  • 元素 nums[i]target 不相等。

当遇到以上两种情况时,直接返回 \(-1\) 即可。代码如下所示:

[file]{binary_search_edge}-[class]{}-[func]{binary_search_left_edge}

查找右边界

那么如何查找最右一个 target 呢?最直接的方式是修改代码,替换在 nums[m] == target 情况下的指针收缩操作。代码在此省略,有兴趣的读者可以自行实现。

下面我们介绍两种更加取巧的方法。

复用查找左边界

实际上,我们可以利用查找最左元素的函数来查找最右元素,具体方法为:将查找最右一个 target 转化为查找最左一个 target + 1

如下图所示,查找完成后,指针 \(i\) 指向最左一个 target + 1(如果存在),而 \(j\) 指向最右一个 target因此返回 \(j\) 即可

将查找右边界转化为查找左边界

请注意,返回的插入点是 \(i\) ,因此需要将其减 \(1\) ,从而获得 \(j\)

[file]{binary_search_edge}-[class]{}-[func]{binary_search_right_edge}

转化为查找元素

我们知道,当数组不包含 target 时,最终 \(i\)\(j\) 会分别指向首个大于、小于 target 的元素。

因此,如下图所示,我们可以构造一个数组中不存在的元素,用于查找左右边界。

  • 查找最左一个 target :可以转化为查找 target - 0.5 ,并返回指针 \(i\)
  • 查找最右一个 target :可以转化为查找 target + 0.5 ,并返回指针 \(j\)

将查找边界转化为查找元素

代码在此省略,以下两点值得注意。

  • 给定数组不包含小数,这意味着我们无须关心如何处理相等的情况。
  • 因为该方法引入了小数,所以需要将函数中的变量 target 改为浮点数类型(Python 无须改动)。