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Top-k 问题

Question

给定一个长度为 \(n\) 的无序数组 nums ,请返回数组中最大的 \(k\) 个元素。

对于该问题,我们先介绍两种思路比较直接的解法,再介绍效率更高的堆解法。

方法一:遍历选择

我们可以进行下图所示的 \(k\) 轮遍历,分别在每轮中提取第 \(1\)\(2\)\(\dots\)\(k\) 大的元素,时间复杂度为 \(O(nk)\)

此方法只适用于 \(k \ll n\) 的情况,因为当 \(k\)\(n\) 比较接近时,其时间复杂度趋向于 \(O(n^2)\) ,非常耗时。

遍历寻找最大的 k 个元素

Tip

\(k = n\) 时,我们可以得到完整的有序序列,此时等价于“选择排序”算法。

方法二:排序

如下图所示,我们可以先对数组 nums 进行排序,再返回最右边的 \(k\) 个元素,时间复杂度为 \(O(n \log n)\)

显然,该方法“超额”完成任务了,因为我们只需找出最大的 \(k\) 个元素即可,而不需要排序其他元素。

排序寻找最大的 k 个元素

方法三:堆

我们可以基于堆更加高效地解决 Top-k 问题,流程如下图所示。

  1. 初始化一个小顶堆,其堆顶元素最小。
  2. 先将数组的前 \(k\) 个元素依次入堆。
  3. 从第 \(k + 1\) 个元素开始,若当前元素大于堆顶元素,则将堆顶元素出堆,并将当前元素入堆。
  4. 遍历完成后,堆中保存的就是最大的 \(k\) 个元素。

基于堆寻找最大的 k 个元素

top_k_heap_step2

top_k_heap_step3

top_k_heap_step4

top_k_heap_step5

top_k_heap_step6

top_k_heap_step7

top_k_heap_step8

top_k_heap_step9

示例代码如下:

[file]{top_k}-[class]{}-[func]{top_k_heap}

总共执行了 \(n\) 轮入堆和出堆,堆的最大长度为 \(k\) ,因此时间复杂度为 \(O(n \log k)\) 。该方法的效率很高,当 \(k\) 较小时,时间复杂度趋向 \(O(n)\) ;当 \(k\) 较大时,时间复杂度不会超过 \(O(n \log n)\)

另外,该方法适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时,我们可以持续维护堆内的元素,从而实现最大的 \(k\) 个元素的动态更新。