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构建二叉树问题

Question

给定一棵二叉树的前序遍历 preorder 和中序遍历 inorder ,请从中构建二叉树,返回二叉树的根节点。假设二叉树中没有值重复的节点(如下图所示)。

构建二叉树的示例数据

判断是否为分治问题

原问题定义为从 preorderinorder 构建二叉树,是一个典型的分治问题。

  • 问题可以分解:从分治的角度切入,我们可以将原问题划分为两个子问题:构建左子树、构建右子树,加上一步操作:初始化根节点。而对于每棵子树(子问题),我们仍然可以复用以上划分方法,将其划分为更小的子树(子问题),直至达到最小子问题(空子树)时终止。
  • 子问题是独立的:左子树和右子树是相互独立的,它们之间没有交集。在构建左子树时,我们只需关注中序遍历和前序遍历中与左子树对应的部分。右子树同理。
  • 子问题的解可以合并:一旦得到了左子树和右子树(子问题的解),我们就可以将它们链接到根节点上,得到原问题的解。

如何划分子树

根据以上分析,这道题可以使用分治来求解,但如何通过前序遍历 preorder 和中序遍历 inorder 来划分左子树和右子树呢

根据定义,preorderinorder 都可以划分为三个部分。

  • 前序遍历:[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ] ,例如上图的树对应 [ 3 | 9 | 2 1 7 ]
  • 中序遍历:[ 左子树 | 根节点 | 右子树 ] ,例如上图的树对应 [ 9 | 3 | 1 2 7 ]

以上图数据为例,我们可以通过下图所示的步骤得到划分结果。

  1. 前序遍历的首元素 3 是根节点的值。
  2. 查找根节点 3 在 inorder 中的索引,利用该索引可将 inorder 划分为 [ 9 | 3 | 1 2 7 ]
  3. 根据 inorder 的划分结果,易得左子树和右子树的节点数量分别为 1 和 3 ,从而可将 preorder 划分为 [ 3 | 9 | 2 1 7 ]

在前序遍历和中序遍历中划分子树

基于变量描述子树区间

根据以上划分方法,我们已经得到根节点、左子树、右子树在 preorderinorder 中的索引区间。而为了描述这些索引区间,我们需要借助几个指针变量。

  • 将当前树的根节点在 preorder 中的索引记为 \(i\)
  • 将当前树的根节点在 inorder 中的索引记为 \(m\)
  • 将当前树在 inorder 中的索引区间记为 \([l, r]\)

如下表所示,通过以上变量即可表示根节点在 preorder 中的索引,以及子树在 inorder 中的索引区间。

  根节点和子树在前序遍历和中序遍历中的索引

根节点在 preorder 中的索引 子树在 inorder 中的索引区间
当前树 \(i\) \([l, r]\)
左子树 \(i + 1\) \([l, m-1]\)
右子树 \(i + 1 + (m - l)\) \([m+1, r]\)

请注意,右子树根节点索引中的 \((m-l)\) 的含义是“左子树的节点数量”,建议结合下图理解。

根节点和左右子树的索引区间表示

代码实现

为了提升查询 \(m\) 的效率,我们借助一个哈希表 hmap 来存储数组 inorder 中元素到索引的映射:

[file]{build_tree}-[class]{}-[func]{build_tree}

下图展示了构建二叉树的递归过程,各个节点是在向下“递”的过程中建立的,而各条边(引用)是在向上“归”的过程中建立的。

构建二叉树的递归过程

built_tree_step2

built_tree_step3

built_tree_step4

built_tree_step5

built_tree_step6

built_tree_step7

built_tree_step8

built_tree_step9

每个递归函数内的前序遍历 preorder 和中序遍历 inorder 的划分结果如下图所示。

每个递归函数中的划分结果

设树的节点数量为 \(n\) ,初始化每一个节点(执行一个递归函数 dfs() )使用 \(O(1)\) 时间。因此总体时间复杂度为 \(O(n)\)

哈希表存储 inorder 元素到索引的映射,空间复杂度为 \(O(n)\) 。在最差情况下,即二叉树退化为链表时,递归深度达到 \(n\) ,使用 \(O(n)\) 的栈帧空间。因此总体空间复杂度为 \(O(n)\)